r a , Le torseur cinématique est un outil physique utilisé couramment en mécanique du solide.. Il permet de représenter de façon pratique le champ des vitesses d'un solide indéformable et donc de décrire les comportements de translation et de rotation d'un tel solide, en général dans un repère orthonormé direct. {\displaystyle {\vec {r}}} D'après la définition de ce dernier il vient: qui correspond au vecteur déplacement infinitésimal pendant dt sur la trajectoire décrite par le point matériel. = {\displaystyle {\frac {d{\vec {T}}}{ds}}} Ce type de mouvement correspond à celui d'un point matériel en chute libre, c'est-à-dire lâché avec une vitesse verticale de valeur , R étant le rayon de courbure de la trajectoire en M. Par suite le vecteur accélération a pour composantes intrinsèques: En coordonnées cartésiennes, le vecteur accélération a pour composantes : 1 rad/s. ˙ N est contenu dans le plan du cercle osculateur et dirigé vers le centre de courbure de la trajectoire en M, donc selon la normale T θ M {\displaystyle ({\vec {e}}_{\rho },{\vec {e}}_{\theta },{\vec {e}}_{z})} y , par exemple selon (Ox) y {\displaystyle ({\vec {T}},{\vec {N}},{\vec {B}})} r x = Relation entre vitesse linéaire et vitesse angulaire d'un point : sR vRR tt t T z , donc avec = e e Cette valeur ne dépend évidemment du choix de l'origine de l'abscisse curviligne. 2 Récapitulatif 11 5. Pour une trajectoire circulaire, le rayon de courbure est constant et égal au rayon de la trajectoire, le centre de courbure étant le centre du cercle représentant la trajectoire. ϕ : l'angle algébrique bgOx Ox, 1, défini modulo 2π. 2. . → Il s'agit d'une grandeur scalaire. {\displaystyle \theta =\pi /2} De fait, elle constitue le plus souvent les premiers chapitres des cours de mécanique du point, avant la dynamique ou l'énergétique. ′ Puis en ne faisant varier que la colatitude : h_theta = r. Et en ne faisant varier que la longitude , h_phi = r.sin(theta). ′ ˙ t R Chapitre 2: Cinématique I Introduction La cinématique est l'étude des mouvements indépendamment des causes qui les produisent. d 0 ′ Cette section est vide, insuffisamment détaillée ou incomplète. r → En utilisant pour le repère d'espace les coordonnées cartésiennes, de base orthonormale associée Il est intéressant d'introduire un repère spécifique, appelé trièdre de Serret-Frenet (ou repère de Frenet) permettant d'exprimer de façon intrinsèque, c'est-à-dire indépendamment d'un système de coordonnées particulier, les grandeurs cinématiques que sont la vitesse et l'accélération. e en une composante tangentielle, donc colinéaire à M . a Si M est la position du point matériel, 2 d v M a e Elle constitue un sous-domaine de la cinématique, restreinte au seul point matériel, qui est elle-même une branche de la mécanique. → ′ / d La cinématique est l’étude des mouvementsdes solides sans tenir compte des causes qui les provoquent. → y En effet dans ce cas les équations horaires sont: et il est possible d'éliminer la date t entre ces deux équations horaires: qui est l'équation cartésienne[3] d'une parabole (physiquement, il s'agira d'un arc de parabole) de sommet , le sens du vecteur vitesse étant celui du mouvement. → est bien dirigé suivant une direction perpendiculaire à → 2 + ′ ′ = , par suite les expressions précédentes se simplifient en: Par intégration[5], le vecteur position devient: Les équations horaires du mouvement peuvent être facilement obtenu en exprimant a x → En ce qui concerne le vecteur accélération il s'exprime sous la forme: ce qui correspond là encore à une décomposition en trois composantes: Il est notable que la composante orthoradiale peut aussi s'écrire (et cela est utile pour le théorème du moment cinétique): En coordonnées sphériques notées ‖ 0 ( = z (segment de) droite: mouvement rectiligne; que la valeur de la vitesse soit constante: le mouvement est dit, que la valeur de l'accélération soit constante: le mouvement est dit, le centre de la roue est en mouvement rectiligne et uniforme par rapport à un référentiel lié à la route, tandis qu'un point matériel situé à l'extrémité de cette roue aura un mouvement. S Comprendre : Lois et modèles Chapitre 5 : Cinématique du point Thème : Temps, mouvement et évolution Fiche synthèse 1 « Le Livre de la nature est écrit en langage mathématique. → r Δ x ˙ ) ( ′ , dans laquelle le vecteur position s'écrit: or → du trièdre de Serret-Frenet, avec M 2 Ce type de trajectoire correspond à celle du mouvement balistique[4] d'un point matériel dans un référentiel terrestre (ou en général "planétaire"), c'est-à-dire au mouvement sous la seule influence du champ de pesanteur étant une constante d'intégration correspondant physiquement à la valeur initiale de la vitesse du point, et. ′ On appelle pas de l'hélice la distance parcourue le long de l'axe pendant la période T, soit en l'espèce: La nature du mouvement d'un point matériel et la forme de la trajectoire dépendent du référentiel choisi. − R ) En coordonnées sphériques, qui forment un système triple orthogonal, il est facile en ne faisant varier que r , de voir que h_r = 1 . z 2 → {\displaystyle {\vec {r}}=R{\vec {e}}_{\rho }} entre ces deux instants. x 0 Déterminer les vitesses absolue, relative et d’entraînement de B. ′ 1: CINÉMATIQUE DU POINT La cinématique consiste à analyser de façon purement mathématique le mouvement des corps en assimilant à des points matériels sans se préoccuper des causes de ce mouvement. θ ′ La notion de point matériel (en anglais point particle) correspond à une idéalisation: on considère que le corps matériel dont on veut décrire le mouvement se réduit à un point géométrique (noté M), auquel on associe la masse m de ce corps (ainsi que sa charge électrique q, le cas échéant). z → R O d {\displaystyle {\vec {T}}} 0 → Le mouvement par rapport à un référentiel donné (R) étant connu, il est possible de déterminer sa nature par rapport à un autre référentiel (R'). Plus de 6000 vidéos et des dizaines de milliers d'exercices interactifs sont disponibles du niveau primaire au niveau universitaire. il vient: or puisque , → ′ + {\displaystyle {\vec {v}}_{M/(R)}} et ) T e = M Finalement, la formule de composition des vitesses se met sous la forme: où 0 , e e + {\displaystyle {\vec {a}}_{M}=a_{x0}\,{\vec {e}}_{x}} Toutefois dans ce cas trivial, la tangente à la trajectoire a une direction confondu avec celle-ci et il est possible de définir le vecteur tangent g 0 ) ρ La mécanique du point n’exclut pas la mécanique des points et nous aurons de nombreuses fois l’occasion d’évoquer le comportement de plusieurs corps en présence et d’en définir certaines propriétés comme le centre de masse et la quantité de ... mathématiques regroupées sous le nom de cinématique … {\displaystyle {\vec {r}}'={\overrightarrow {OM}}'} 2 Les grandeurs physiques de la cinématique sont le temps, la position, la vitesse et l’accélération. {\displaystyle \left({\frac {d{\overrightarrow {O'M}}}{dt}}\right)_{(R)}={\dot {x'}}{\vec {e}}_{x'}+{\dot {y'}}{\vec {e}}_{y'}+{\dot {z'}}{\vec {e}}_{z'}+x'{\vec {\omega }}_{R'/R}\wedge {\vec {e}}_{x'}+y'{\vec {\omega }}_{R'/R}\wedge {\vec {e}}_{y'}+z'{\vec {\omega }}_{R'/R}\wedge {\vec {e}}_{z'}={\vec {v}}_{M/R'}+{\vec {\omega }}_{R'/R}\wedge {\vec {r'}}} cos d / En mécanique, cette notion est plus générale car non seulement elle peut correspondre à une augmentation comme à une diminution de la valeur de la vitesse, mais à l'instar de celle-ci elle est généralisée sous forme vectorielle. + d {\displaystyle s(t)} 2 ′ → , ce qui implique ) . De la nécessité du référentiel 1 2. → → . + ( TD1 Cinématique du point Des vecteurs pour se repérer et trouver vitesses et accélérations Vecteur position Pour étudier le mouvement d'un point M au cours du temps, il est nécessaire de : – préciser le référentiel et le repère qui lui est lié 0, i, j, k – péciser la position du point par son vecteur position : La relation de la vitesse en fonction du temps pour le véhicule A est décrite ci-dessous. y = ρ et ϕ constituent un couple de "coordonnées polaires" associé au point H. Pour une trajectoire rectiligne, le rayon de courbure est infini en tout point de celle-ci, et le trièdre de Serret-Frenet n'est pas défini. 0 2 Introduction La cinématique est l’étude de la variation dans le temps des positions occupées par la matière dans l’espace, ceci indépendamment des causes qui produisent le mouvement. {\displaystyle x(t)} ∧ R → De fait, d'après l'expression intrinsèque du vecteur vitesse y {\displaystyle {\dot {r}}{\vec {e}}_{r}} → v 0 0 r En notant x0 et y0 les valeurs initiales respectives de x et y il vient: Comme le mouvement hélicoïdal est ici uniforme, le mouvement circulaire dans le plan Oxy est périodique de période {\displaystyle {\vec {v}}} {\displaystyle {\frac {d{\vec {e}}_{\rho }}{dt}}={\dot {\theta }}{\vec {e}}_{\theta }} Le rayon R de l'hélice est constant, par suite le vecteur accélération s'écrit dans le cas de ce type de mouvement: Dans le cas particulier important où le mouvement est uniforme, x θ → La dernière modification de cette page a été faite le 25 mai 2020 à 20:02. θ ( = θ O de la variation de l'orientation des axes du repère d'espace associé, décrite par le. ( e t par rapport à un référentiel lié à l'essieu, le centre de la roue sera immobile, et un point à extrémité aura un mouvement circulaire uniforme. θ La cinématique du point est l'étude du mouvement d'un point matériel indépendamment des causes de ce mouvement. 0 e , z → → z ˙ correspond à la distance parcourue par le mobile entre une date {\displaystyle {\tfrac {2\pi }{\omega _{0}}}} → = Le seul paramètre mécanique conservé est celui de masse, qui en fait n'intervient pas en cinématique dans la mesure où la question des causes du mouvement ne se pose pas. Vitesse d’un point VM = ω.OM = ω.r Remarque : puisque ω a même valeur pour tous les points du solide, la vitesse linéaire _V(M∈S/R0) varie linéairement avec la distance r à l’axe de rotation. , le point matériel étant lancé avec la vitesse initiale t {\displaystyle v_{x0}} → Dans ce ... Dans cette dernière formule, le point désigne le produit scalaire. T , par suite il vient pour le vecteur vitesse du point matériel dans (R): Par ailleurs {\displaystyle {\vec {v}}={\frac {ds}{dt}}{\vec {T}}=v{\vec {T}}} phi ' représente le couplage de Coriolis (cf plus loin). → {\displaystyle \Delta t=t'-t} → h En fait, ce modèle revient à s'abstraire de la forme géométrique du corps, de la répartition en son sein de sa masse ou de sa charge électrique, etc. ˙ = 2 a x ) Dès lors, en utilisant le trièdre de Serret-Frenet, il est possible d'exprimer de façon intrinsèque le vecteur vitesse du point matériel, puisque celui-ci est nécessairement orienté selon le vecteur tangent Le paramètre h_1 s'appelle paramètre de Lamé. ρ ω ′ v ( r M Ce type de mouvement résulte de la combinaison d'un mouvement circulaire et d'un mouvement rectiligne selon une direction (le plus souvent notée (Oz)) perpendiculaire au plan de cette trajectoire. Mécanique : Cinématique du point La mécanique est le domaine de tout ce qui produit ou transmet un mouvement, une force, une déformation : machines, moteurs, véhicules, organes (engrenages, poulies, courroies, vilebrequins, arbres de transmission, pistons, etc.). dans la base orthonormale associée au repère Oxy lié au référentiel d'étude, soit = g Également appelé chute libre "avec vitesse initiale": il est clair que la chute libre citée comme exemple de mouvement rectiligne uniformément accéléré n'est qu'un cas particulier de mouvement balistique avec vitesse initiale nulle. e {\displaystyle {\vec {v}}_{e}={\vec {v}}_{O'/R}+{\vec {\omega }}_{R'/R}\wedge {\vec {r'}}} + Cinématique du point. Retrouvez l'accès par classe très utile pour vos révisions d'examens ! est la vitesse d'entrainement de M par rapport à (R), qui est la somme d'un terme lié au déplacement de l'origine du repère d'espace associé à (R') et d'un terme traduisant le changement d'orientation de ce repère. Calculer la vitesse de B en utilisant la relation de Varignon. ′ R La dernière modification de cette page a été faite le 2 février 2019 à 19:44. M u 2 ) {\displaystyle (x_{0},y_{0})} ˙ = Vitesse d’un point matériel 5 3. → ˙ {\displaystyle {\frac {d{\vec {T}}}{ds}}} On peut s'essayer avec le système de coordonnées cylindriques. T , Les prérequis conseillés sont : Ces contributeurs sont prêts à vous aider concernant cette leçon : https://fr.wikiversity.org/w/index.php?title=Cinématique_du_point&oldid=753077, licence Creative Commons Attribution-partage dans les mêmes conditions. v moy = x t ⇒ v moy = x f − x i t 15 m/s = x f − 0 m t x f = 15 m/s ⋅ t v moy = x t ⇒ v moy = x f − x i t 15 m/s = x f − 0 m t x f = 15 m/s ⋅ t Considérons maintenant le véhicule B. x i = 250 m a = − 2, 5 m/s 2 v i = 0 m/s x i = 250 m a = − 2, 5 m/s 2 v i = 0 m/s se décompose en ses composantes ′ ) t z r e ˙ ρ ′ r x {\displaystyle ({\vec {e}}_{x},{\vec {e}}_{y},{\vec {e}}_{z})} + Cinématique du solide indéformable 9 Généralisation Soient n repère R i dont on connaît les mouvements relatifs par rapport aux repères R i-1.Soit le solide S en mouvement connu par rapport au repère R 0 et un point M de S. L’application successive de la relation [18] entre S et R i en faisant intervenir le repère intermédiaire R i+1 donne : MS R MS R MR R,/ ,/ , /nnnn11 → {\displaystyle x=f(t),y=g(t),z=h(t)} y d Repérage en coordonnées cartésiennes. 2 0 x . e En règle générale il s'agit d'une hélice circulaire. 2 . u le vecteur position ′ ˙ ′ t θ → → , {\displaystyle {\vec {v}}} u ∧ 0 z e 1 ˙ ... La formule de la base mobile donne : x e Δ → En mécanique newtonienne, le temps en considéré comme absolu, c'est-à-dire identique dans tous les référentiels. {\displaystyle {\vec {r}}={\overrightarrow {OM}}} g y → ′ → {\displaystyle {\vec {a}}={\dot {\dot {x}}}{\vec {e}}_{x}+{\dot {\dot {y}}}{\vec {e}}_{y}+{\dot {\dot {z}}}{\vec {e}}_{z}} y → a r → → → z e Par suite ∧ Elle est définie par la donnée des coordonnées en fonction du temps. , {\displaystyle {\frac {d{\vec {T}}}{ds}}\cdot {\vec {T}}=0} {\displaystyle x_{0}} ω v Il s'agit d'un repère mobile avec le point P, position de M à un instant donné, orthonormé, de vecteurs de base 0 y Nous sommes tous familiers avec cette machine qui réactualise constamment le présent, qu'on appelle le temps et que l'on réduit souvent à ces quelques attributs : chronologie, durée, flèche du temps... Pourtant, les philosophes le savent bien, la question du temps est difficile et toute tentative de définitio… ω + , {\displaystyle {\vec {v}}_{0}=v_{x0}{\vec {e}}_{x}+v_{y0}{\vec {e}}_{y}} , = x v . {\displaystyle {\vec {e}}_{\rho }=\cos \theta {\vec {e}}_{x}+\sin \theta {\vec {e}}_{y}} . {\displaystyle {\vec {T}}} , ˙ e Notion de point matériel [ modifier | modifier le code ] → {\displaystyle {\vec {v}}} u , ‖ → e N = − ˙ {\displaystyle {\vec {r}}} → e e v → x 0 → R y ˙ → = O v ˙ 0 Il est possible de montrer que 2. = ρ {\displaystyle {\vec {r}}={\overrightarrow {OM}}={\overrightarrow {OO'}}+{\overrightarrow {O'M}}} → t 2 → {\displaystyle \scriptstyle {\overrightarrow {MM'}}} T e cte v est par définition unitaire, = ∧ s x En considérant des instants de plus en plus rapprochés, et donc en passant à la limite → ( et A B Translation pure Rotation pure g cte 0 ( En dérivant à nouveau, l'accélération s'obtient de la même façon, selon les trois composantes : On note pour mémoire qu'à longitude bloquée, le mouvement se passe dans le plan méridien, et dans ce plan, on retrouve bien l'accélération calculée dans le paragraphe précédent. Les coordonnées polaires dans le plan de la trajectoire sont les plus adaptées pour décrire ce type de mouvement. → v {\displaystyle {\dot {x}}={\frac {dx}{dt}}} → ′ M d t v Votre document Les mouvements et la cinématique (Cours - Fiches de révision), pour vos révisions sur Boite à docs.
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