( u u d gd d gd Théorème: Soient et deux vecteurs du plan . est une base orthonormée directe si et seulement si est une base orthonormée et i,j 2 2 . y = {\displaystyle {\begin{aligned}u\cdot v&=u\cdot \left(\sum _{k=1}^{n}y^{k}e_{k}\right)\\&=\sum _{k=1}^{n}(e_{k}\cdot u)y^{k}\\&=\sum _{k=1}^{n}x_{k}y^{k}\end{aligned}}}. Comme les vecteurs \overrightarrow{AI} et \overrightarrow{BI} sont orthogonaux le produit scalaire \overrightarrow{AI} \cdot \overrightarrow{BI} est nul ; pour la même raison le produit scalaire \overrightarrow{IB} \cdot \overrightarrow{IC} est lui aussi nul. II. k . Pour la figure ci-dessous, on souhaite déterminer une valeur approchée à 10{}^{ -2} près du produit scalaire \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} . \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}=AB\times AH si l'angle \widehat{BAC} est aigu, \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}=-AB\times AH si l'angle \widehat{BAC} est obtus. . n Produit scalaire et calcul d'angles dans un repère orthonormé a. Un vecteur directeur de d est : Un vecteur normal de d est tel que : Soit : 3a + 2b = 0. a = 2 et b = − 3 conviennent, ainsi le vecteur est un vecteur normal de d. Pour calculer le produit scalaire \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} , on projette orthogonalement le point C sur la droite (AB) . En effet, considérons les 3 points A, B, C tels que u = AB et v = AC . Notons H ce projeté orthogonal : On utilise alors le théorème suivant (voir cours) : Soient A, B, C trois points du plan et si H est la projection orthogonale de C sur la droite \left(AB\right). = 1 e k Soit ) ( par k Il existe trois points A, B et C tel que ⃗ = ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ et ⃗ = ⃗⃗⃗⃗⃗ . Un vecteur directeur de d est : Un vecteur normal de d est tel que : Soit : 3a + 2b = 0. a = 2 et b = − 3 conviennent, ainsi le vecteur est un vecteur normal de d. ⋅ u Lorsque l'on connaît trois distances, par exemple, les longueurs des trois côtés d'un triangle, On peut calculer un produit scalaire en utilisant l'une des égalités ci-dessous (Voir propriété) : Cette formule est particulièrement utile lorsque l'on connaît les trois côtés d'un triangle ou lorsque l'on connaît 2 côtés et la médiane issus du même point ; on utilise alors souvent une des relations ci-dessous : \overrightarrow{BC}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AC} -\overrightarrow{AB} (Relation de Chasles), Si M et le milieu du segment [BC]\ : \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=2\overrightarrow{AM} (Propriété de la médiane). y n ) = v 1 e k On peut alors calculer le produit scalaire \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{BC} de la façon suivante : \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{BC}=\left( \overrightarrow{AI}+\overrightarrow{IB} \right) \cdot \left( \overrightarrow{BI}+\overrightarrow{IC} \right) \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AI} \cdot \overrightarrow{BI}+\overrightarrow{AI} \cdot \overrightarrow{IC}+\overrightarrow{IB} \cdot \overrightarrow{BI}+\overrightarrow{IB} \cdot \overrightarrow{IC}. ∑ ⋅ \vec{u} \cdot \vec{v}=\frac{1}{2} \left(||\vec{u}+\vec{v}||^{2}-||\vec{u}||^{2}-||\vec{v}||^{2}\right), \vec{u} \cdot \vec{v}=\frac{1}{2}\left(\left\Vert \vec{u}\right\Vert{}^2 +\left\Vert \vec{v}\right\Vert{}^2 -\left\Vert \vec{u} -\vec{v}\right\Vert{}^2 \right), \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=2\overrightarrow{AM}, \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} =\frac{1}{2} \left( ||\overrightarrow{AB}||{}^2 +||\overrightarrow{AC}||{}^2 -||\overrightarrow{BC}{}||^2 \right), \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} =\frac{1}{2} \left( 9{}^2 +6{}^2 -8{}^2 \right), \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} =\frac{1}{2} \times 53=26,5, \overrightarrow{u}\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}, \overrightarrow{v}\begin{pmatrix} x ^{\prime} \\ y ^{\prime} \end{pmatrix}, \vec{u} \cdot \vec{v}=xx^{\prime}+yy^{\prime}, A(0~;~0)~; B(4~;~0)~;~C(4~;~4)~; D(0~;~4)~;~I(2~;~0), \overrightarrow{IB}\begin{pmatrix} x_{B} -x_{I} \\ y_{B} -y_{I} \end{pmatrix}, \overrightarrow{IB}\begin{pmatrix} 2 \\ 0 \end{pmatrix}, \overrightarrow{ID}\begin{pmatrix} x_{D} -x_{I} \\ y_{D} -y_{I} \end{pmatrix}, \overrightarrow{ID}\begin{pmatrix} -2 \\ 4 \end{pmatrix}, \vec{u} \cdot \left(\vec{v}+\vec{w}\right)=\vec{u} \cdot \vec{v}+\vec{u} \cdot \vec{w}. y Si vous continuez à utiliser ce dernier, nous considérerons que vous acceptez l'utilisation des cookies. Produit scalaire dans un repère orthonormé 1) Base et repère orthonormé ... Définition : Un vecteur non nul ^"⃗ de l'espace est normal à un plan P lorsqu'il est orthogonal à tout vecteur admettant un représentant dans P. ... Dans un repère orthonormé, soit %S 1 2 −2 U, &S −1 3 1 U et 0’S 2 −2 est donné par : u x Calcul d'angle. k v Deux vecteurs non nuls sont orthogonaux ssi leur produit scalaire est nul. qui nous sont familières ne sont, en fait, vraies que dans les repères orthonormés parce que dans un tel repère, les coordonnées contravariantes sont égales aux coordonnées covariantes. y = Il fut baptisé produit scalaire par William Hamilton (1805 ; 1865) en 1853. La méthode utilisant la projection orthogonale est particulièrement bien adaptée ici puisque l'on connaît la projection orthogonale A du point D sur la droite (IB). Nous verrons comment l’expression bien connue du produit scalaire dans un repère orthonormé se généralise dans un repère non orthonormé. N = k Définitions. II) Applications A) étermination équation cartésienne d’une droite/d’un plan ⋅ {\displaystyle u\cdot v=\sum _{k=1}^{n}x^{k}y_{k}=\sum _{k=1}^{n}x_{k}y^{k}} On cherche à calculer la valeur du produit scalaire \overrightarrow{IB} \cdot \overrightarrow{ID} . Dire que l'angle \widehat{BAC} est aigu revient à dire que les vecteurs \overrightarrow{AB} et \overrightarrow{AH} ont le même sens. Nous allons dans ce paragraphe étendre le produit scalaire que vous connaissez dans le plan à l'espace. 4 Le produit scalaire peut servir : • Pour démontrer par le calcul, un repère orthonormé étant choisi, une orthogonalité. \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{BC}=6{}^2 -3{}^2 =36 - 9=27. Le produit scalaire de \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{BC}. n Le repère est orthonormé donc OA 2 = OA'2 + AA'2, ce qui revient à dire que : u 22 = OA = OA'2 + AA'2 = x2 + y 2 + z2 d' où u = x2 + y 2 + z 2 II) Produit scalaire dans l'espace : Deux vecteurs de l'espace u et v sont forcément coplanaires. u v = Dans le triangle ci-dessus, d'après la relation de Chasles : \overrightarrow{BC}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AC} -\overrightarrow{AB}. ∑ x v u • Pour déterminer un angle géométrique, avec le calcul de son cosinus, dès lors que l'on sait calculer le produit scalaire dans un repère. k ∑ (Remarque : On peut montrer que ce résultat est encore correct si ABCD est un parallélogramme quelconque et non nécessairement un losange), \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}, \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}=AB\times AH, \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}=-AB\times AH, \overrightarrow{IB} \cdot \overrightarrow{ID}, \overrightarrow{IB} \cdot \overrightarrow{ID}= -IB \times IA, \overrightarrow{IB} \cdot \overrightarrow{ID}= -2 \times 2= -4, \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}, \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} =AB \times AC \times \cos \left(\overrightarrow{AB} ; \overrightarrow{AC} \right), \left(\overrightarrow{AB} ; \overrightarrow{AC} \right), \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}, \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}=AB \times AC \times \cos \widehat{BAC}, \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}=12 \times 6 \times \cos(50 \degree). e Ainsi, tu deviendras un crack dans le calcul d’un produit scalaire. = = (Il suffit de se placer dans un plan contenant les deux vecteurs, ce qui est toujours possible) Les propriétés vues pour le produit scalaire dans le plan s'étendront au produit scalaire dans l'espace. x k Nous allons voir, dans ce chapitre, 5 des principales méthodes utilisées en classe de Première pour calculer un produit scalaire : Appliquer une formule utilisant le cosinus d'un angle. k = k On sait qu'il existe un … ∑ ∑ e n = Exemple : On se place dans un repère orthonormé du plan. Le projeté orthogonal d’un point M sur une droite d est le point d’intersection M′ Calculons alors le produit scalaire de x Dans un plan muni d’un repère orthonormé : En effet : Or les deux vecteurs de base sont orthogonaux donc leur produit scalaire est nul, d’où : De même, dans l’espace muni d’un repère orthonormé : n ∑ x . Par conséquent : \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AI}{}^2 -\overrightarrow{IB}{}^2 =AI{}^2 -IB{}^2 \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{BC}=6{}^2 -3{}^2 =36 - 9=27. un vecteur de coordonnées covariantes (y1, y2, ... , yn) et de coordonnées contravariantes t(y1, y2, ... , yn). ⋅ k La dernière modification de cette page a été faite le 18 juillet 2018 à 09:51. Produit scalaire et quadrillage. [ROC] Formule de soustraction des cosinus, [ROC] Vecteur directeur et vecteur normal d'une droite, Puissance d'un point par rapport à un cercle, Déterminer le centre et le rayon d'un cercle à partir de son équation. {\displaystyle n\in \mathbb {N} } k k Pour tous vecteurs \vec{u}, \vec{v}, \vec{w}~: Cette méthode est très générale et elle peut souvent remplacer les méthodes 1 ou 4 ; cependant, elle peut être parfois plus difficile à manier. En particulier : 1. Objectif Utiliser les définitions et propriétés du produit scalaire afin de déterminer des mesures d’angles ou de longueurs dans un triangle notamment. x k e k = Nous introduisons les notions de coordonnées covariantes et contravariantes que nous retrouverons dans des leçons plus élaborées sur les tenseurs. k Pour trouver le résultat demandé, on peut se placer dans un repère de centre I et employer la méthode précédente. k Dans ce cas le repère R O,i,j est appelé repère orthonormé . ⋅ n Calculer un produit scalaire à partir des coordonnées des vecteurs. \overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AI}+\overrightarrow{IB}, \overrightarrow{BC}=\overrightarrow{BI}+\overrightarrow{IC}, \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{BC}, \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{BC}=\left( \overrightarrow{AI}+\overrightarrow{IB} \right) \cdot \left( \overrightarrow{BI}+\overrightarrow{IC} \right), \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AI} \cdot \overrightarrow{BI}+\overrightarrow{AI} \cdot \overrightarrow{IC}+\overrightarrow{IB} \cdot \overrightarrow{BI}+\overrightarrow{IB} \cdot \overrightarrow{IC}, \overrightarrow{AI} \cdot \overrightarrow{BI}, \overrightarrow{IB} \cdot \overrightarrow{IC}, \overrightarrow{IC}= \overrightarrow{AI}, \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AI}{}^2 -\overrightarrow{IB}{}^2 =AI{}^2 -IB{}^2. Propriétés (rappels) → x Dans ce chapitre, nous allons calculer le produit scalaire de deux vecteurs u et v en fonction de leurs coordonnées covariantes et contravariantes. = k v {\displaystyle u} k Dans tout ce paragraphe, on travaillera dans un repère orthonormé 1. Pour la figure ci-dessous, on cherche, là encore, à calculer le produit scalaire \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} . = Produit scalaire dans le plan – Révisions 1S Illustration de la quatrième expression du produit scalaire Application 1 : Dans chaque cas, calculer $\\vect{AB}.\\vect{AC}$ (ou $\\vec{u}.\\vec{v}$ pour le cas 2) : $\\quad$ $\\quad$ À quoi ça sert? 1 k Dire que l'angle \widehat{BAC} est obtus revient à dire que les vecteurs \overrightarrow{AB} et \overrightarrow{AH} ont des sens opposés. k Le concept relativement récent et a été introduit au milieu du XIXe siècle par le mathématicien allemand Hermann Grassmann (1809 ; 1877), ci-contre. Expression analytiques du produit scalaire dans un repère orthonormé: Base orthonormée: Soient i d et j gd deux vecteurs non nuls du plan ; On dit que ij, d gd est une base orthonormée du plan si et seulement si i j i j A1 et . ( Définitions et propriétés Définition 1. Dans un repère cartésien orthonormé ,on donne les trois points et formant le triangle .. A partir du produit scalaire, retrouver l'équation cartésienne du cercle de diamètre dans le plan et vérifier, aux approximations prés, que le sommet du triangle appartient à ce cercle . ) Soit la droite d d'équation cartésienne 2 x − 3 y − 6 = 0 . Chapitre 8 : Calcul vectoriel et produit scalaire 1re-Spécialité mathématiques, 2019-2020 1. Il existe toujours un plan contenant A, B et C. On appelle produit scalaire des vecteurs ⃗ et ⃗ de l’espace le produit scalaire des vecteurs ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ et ⃗⃗⃗⃗⃗ dans le plan . = v x b) Orthogonalité de deux droites dans l’espace. v n Soit y x Produit scalaire dans le plan 1.1. On peut étendre la notion de produit scalaire dans le plan, établie ci-dessus, à deux vecteurs de l'espace. Produit scalaire dans le plan 1.1. On en déduit, d'après la seconde égalité du théorème précédent : \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} =\frac{1}{2} \left( ||\overrightarrow{AB}||{}^2 +||\overrightarrow{AC}||{}^2 -||\overrightarrow{BC}{}||^2 \right) \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} =\frac{1}{2} \left( 9{}^2 +6{}^2 -8{}^2 \right) \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} =\frac{1}{2} \times 53=26,5. Notons HHHce projeté orthogonal : On utilise alors le théorème suivant (voir cours) : . Dans ce chapitre, nous allons calculer le produit scalaire de deux vecteurs u et v en fonction de leurs coordonnées covariantes et contravariantes. un vecteur de coordonnées covariantes (x1, x2, ... , xn) et de coordonnées contravariantes t(x1, x2, ... , xn). {\displaystyle u} u {\displaystyle {\begin{aligned}u.v&=\left(\sum _{k=1}^{n}x^{k}e_{k}\right)\cdot v\\&=\sum _{k=1}^{n}x^{k}(e_{k}\cdot v)\\&=\sum _{k=1}^{n}x^{k}y_{k}\end{aligned}}}, u ⋅ 1 Leçon : PRODUIT SCALAIRE dans l’espace Présentation globale 1) Le produit scalaire de deux vecteurs dans l’espace 2) Vecteurs orthogonaux 3) Produit scalaire et norme 4) repère orthonormé de l’espace base orthonormé de l’espace 5) analytique du produit scalaire dans l'espace 6) L'ensemble des points dans l'espace tq : u AM k. Une autre façon de calculer le produit scalaire de 2 vecteurs consiste à décomposer ces vecteurs en utilisant la relation de Chasles puis à utiliser la distributivité du produit scalaire par rapport à l'addition ou à la soustraction de vecteurs.
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